Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径⊙O交BC于点E，D为AC中点，EF⊥AB于点F．过A作AK∥DE交⊙O于K，交BC于H，交EF于G．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知EG=2GF，OG=2，求△AKB的面积．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：数形结合

分析：（1）首先连接AE，OE，由以AB为直径⊙O交BC于点E，D为AC中点，易得AD=DE，又由OA=OE，可得∠OED=∠CAB=90°，即可证得DE是⊙O的切线；
（2）易得四边形ADEG是菱形，由EG=2GF，可得△OAE是等边三角形，继而求得线段AK与BK的长，则可求得△AKB的面积．

解答：（1）证明：连接AE，OE，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠CEA=180°-∠AEB=180°-90°=90°，
∵点D位AC中点，
∴DE=AD，
∴∠DAE=∠DEA，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∴∠OEA+∠DEA=∠OAE+∠DAE，
∴∠OED=∠BAC=90°，
∴DE⊥OE，
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：∵∠BAC=90°，EF⊥AB，
∴AD∥EF，
∵DE∥AK，
∴四边形ADEG是平行四边形，
∵AD=ED，
∴四边形ADEG是菱形，
∴AG=EG=2GF，
∴在Rt△AGF中，sin∠GAF=

GF

AG

=

1

2

，
∴∠GAF=30°，
∵DE∥AK，OE⊥DE，
∴AK⊥OE，
∴∠AOE=90°-30°=60°，
∵OE=OA，
∴△OEA是等边三角形，
∵点G在AK上，AK⊥OE，
∴EG=OG=2，
∴AG=EG=2，
∴AF=2×cos30°=

3

，
∴OA=2AF=2

3

，
∴AB=2OA=4

3

，
∴AK=4

3

×cos30°=6，BK=AB•sin30°=2

3

，
∴S_△ABK=

1

2

AK•BK=6

3

．

点评：此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．