Question

（1）已知PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，PO=4，PA=2

3

，则∠APB=

 

度．
（2）已知PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，点E是

AB

上的动点（不与A，B）重合，CD切⊙O于点E．求证：△PCD的周长不随点E的运动而变化．

Answer 1

考点：切线长定理,切线的性质

专题：

分析：（1）利用切线长定理以及锐角三角函数关系得出∠APO=30°，进而得出答案；
（2）根据切线长定理，即可得到PA=PB，ED=BD，CE=AC，从而求得三角形的周长=2PA．

解答：（1）解：连接PO，AO，
∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴∠PAO=90°，∠APO=∠BPO，
∵PO=4，PA=2

3

，
∴cos∠APO=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠APO=30°，
则∠APB=60°．
故答案为：60；

（2）证明：△PCD的周长=2PA．理由如下：
∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，
∴PA=PB，ED=BD，CE=AC；
∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA，即△PCD的周长不随点E的运动而变化．

点评：本题考查了切线的性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，是基础题型．