Question

⊙O₁，⊙O₂相交于A，B两点，两圆半径分别为6

2

和4

3

，公共弦长12，则∠O₁AO₂为

 

．

Answer 1

考点：相交两圆的性质

专题：

分析：连接AB、O₁O₂，两线段交于点C，由垂径定理可得：O₁O₂⊥AB且平分AB，再解Rt△O₁CA、Rt△O₂CA，可得∠O₁AC、∠O₂AC，即可求得∠O₁AO₂的度数．

解答：解：连接AB、O₁O₂，两线段交于点C，如图1所示：
①∵AB为两圆的交线，O₁O₂为两圆圆心的连线，
∴O₁O₂⊥AB且平分AB；
∵已知O₁A=6

2

，O₂A=4

3

，AB=12，
∴在Rt△O₁CA中，cos∠O₁AC=

6

6 2

2

2

，
∴∠O₁AC=45°；
在Rt△O₂CA中，cos∠O₂AC=

6

4 3

=

3

2

，
∴∠O₂AC=30°，
∴∠O₁AO₂=∠O₁AC+∠O₂AC=15°，
②如图2所示：
同理可得：∴∠O₁AO₂=∠O₁AC+∠O₂AC=105°，
故答案是：15°或105°．

点评：本题主要考查了相交圆的性质及直角三角形的性质，熟练掌握两圆相交的性质是解答的关键，希望同学们熟练掌握．