Question

如图，在⊙O中，AB是弦，半径OC经过AB的中点M，
（1）若OM=MC，求∠OCB的度数；
（2）作∠BAD=2∠ABD，AD交BC的延长线于D，求证：AD是⊙O的切线．

Answer 1

（1）解：∵M是AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵OM=MC，
∴BC=OB，
∴OB=OC=BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB=60°；

（2）证明：连接OA，
∵∠AOC=2∠ABC，∠BAD=2∠ABD，
∴∠AOC=∠BAD，
∵∠AOC+∠OAB=90°，
∴∠OAD=∠AOB+∠BAD=∠OAB+∠AOC=90°，
即OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．
分析：（1）由半径OC经过AB的中点M，根据垂径定理的即可求得OC⊥AB，又由OM=MC，根据线段垂直平分线的性质，可得OB=BC，即可得△OBC是等边三角形，则可得∠OCB的度数；
（2）首先连接OA，由圆周角定理可得：∠AOC=2∠ABC，又由已知∠BAD=2∠ABD，即可证得∠AOC=∠BAD，继而可求得∠OAD=90°，证得AD是⊙O的切线．
点评：此题考查了切线的判定、垂径定理、圆周角定理以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．