Question

8．如图，直线l与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，AC=8，P是直径AC右侧半圆上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA、PC．设PA=x，PB=y．求：
（1）△APC与△APB相似吗？为什么？
（2）求y与x的函数关系式； 
（3）当x为何值时，x-y取得最大值，最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）利用切线的性质以及平行线的性质进而得出∠CAP=∠APB以及∠PBA=∠APC=90°，即可得出答案；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）由$\frac{1}{8}$x²代替y，化为关于x的二次三项式，配方即可求得答案．

解答 解：（1）△APC∽△APB，
证明：∵⊙O与直线l相切于点A，且AB为⊙O的直径，
∴CA⊥l，∠CPA=90°，
又∵PB⊥l，
∴CA∥PB，
∴∠CAP=∠APB，
又∵PB⊥l，
∴∠APB=90°，
∴∠CAP=∠ABP，
∴△APC∽△APB；

（2）∵△APC∽△APB，
∴$\frac{AP}{PB}=\frac{AC}{AP}$，
∴$\frac{x}{y}=\frac{8}{x}$．
∴y=$\frac{1}{8}$x²（0＜x＜8）；

（3）x-y=x-$\frac{1}{8}{x}^{2}$=-（$\frac{1}{8}$（x-4）²+2，
∴当x为4时，x-y取得最大值，最大值为2．

点评 此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质和相似三角形的判定与性质等知识，求出∠CAP=∠APB是解题关键．