Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E．
（1）求证：△ADC为等边三角形；
（2）若BD=4cm，BE=2cm，求△ABC的周长．

Answer 1

解：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=90°-∠B=90°-30°=60°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴∠DCB=∠B=30°，
∴∠ACD=90°-∠DCB=90°-30°=60°，
∴∠ACD=∠A，
∴AD=CD，即△ADC为等边三角形；

（2）∵DE是BC的垂直平分线，BD=4cm，BE=2cm，
∴BC=2BE=2×2=4cm，CD=BD=4cm，
∵AD=CD，
∴AD=CD=BD=4cm，
∴AB=2BD=2×4=8cm，
∵△ABC是直角三角形，∠B=30°，
∴AC=AB=×8=4cm，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=8+4+4=（12+4）cm．
分析：（1）先根据直角三角形的性质求出∠A的度数，再由线段垂直平分线的性质可求出∠DCB的度数，进而得到∠ACD的度数，由△ACD中各角的度数即可解答；
（2）由于DE是线段BC的垂直平分线，所以BC=2BE，CD=BD，由（1）可知CD=AD，可求出AB=2BD，再由∠B=30°可求出AC的长，由三角形的面积公式即可求解．
点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质及直角三角形的性质，等腰三角形的判定定理，解答此题的关键是熟知线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．