平面直角坐标系中.原点O是正三角形ABC外接圆的圆心.点A在轴的正半轴上.△ABC的边长为6．以原点O为旋转中心将△ABC沿逆时针方向旋转角.得到△.点..分别为点A.B.C的对应点．(1)当=60时.①请在图1中画出△,②若AB分别与.交于点D.E.则DE的长为 , (2)如图2.当⊥AB时.分别与AB.BC交于点F.G.则点的坐标为 .△FBG的周长为 .△ABC与� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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平面直角坐标系

中，原点O是正三角形ABC外接圆的圆心，点A在

轴的正半轴上，△ABC的边长为6．以原点O为旋转中心将△ABC沿逆时针方向旋转角，得到△

，点

、

分别为点A、B、C的对应点．

（1）当=60时，
①请在图1中画出△

；
②若AB分别与

、

交于点D、E，则DE的长为_______；
（2）如图2，当

⊥AB时，

分别与AB、BC交于点F、G，则点

的坐标为 _____，△FBG的周长为_____，△ABC与△

重叠部分的面积为_______．

（1）由旋转角，对应点可画出图像，（2）DE="2" (3)A′(-

,3) △FBG的周长6，重叠的面积27-9

试题分析：（1）∵在平面直角坐标系XOY中，△ABC是⊙O的外接圆，经中心O旋转60°后，得到△A′B′C′把⊙0平均分成了六份，六个顶点能构成内接正六边形∴各边的交点又构成小的正六边形，∴AB与A′B′的交点为三等份的点，从而得到DE=

×6=2，（2）∵点O是三角形四心重合的点，AB⊥A’B’.可得A’B’ ⊥x轴，在△ABC中可易求OA=2

。∴OA’=2

由O,A’与x 轴组成的三角形是特殊的三角形，即30°,60°90°∴A’(-

,3) ∵BF=A’F, ∴△FBG的周长="AB的边长=6." （3）设BG为x,则FG为

x,BF为2x. ∴x+

x+2x="6" ∴x=(3-

)∴ △ABC的面积-三倍△BFG的面积=重叠的面积=

×6×3

×3×

（3-

）×（3-

）=27-9

.解：（1）①如图所示.

……………………………………1分
②DE的长为 2 ； ………………………………2分
（2）点

的坐标为

，△FBG的周长为 6 ，
△ABC与△

重叠部分的面积为

．
…………………………………5分
阅卷说明：第（2）问每空1分.
点评：本题有一定的难度，关键熟悉几个公式的应用，由于圆心就是三角形的内心，从而得到特殊角的度数在Rt三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，列出方程求出边长，再有重叠的面积=三角形的面-三个全等的小三角形的面积。注意的是，旋转后得到六个全等的三角形。中档题，有一定的难度，计算量较大易出错。

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