Question

10．已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
（1）若点A、B的坐标分别为（-2，0）和B（2，0），且C（0，4），请直接写出该抛物线的解析式及开口方向、顶点坐标；
（2）将（1）中的抛物线沿水平方向平移，设平移后的抛物线与y轴交于点E，而移动前的点B，却落在点F上，问：是否存在OE=OF≠0的情形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后确定抛物线的开口方向和顶点坐标即可；
（2）设出平移后的解析式y=（x-h）²+4，然后求得点E和点F的坐标，然后根据OE=OF的关于h的方程，从而可解得h的值，然后可确定出点F的坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-2），将点C的坐标代入得：-4a=4，
解得：a=-1．
∴抛物线的解析式为y=-（x+2）（x-2），即y=-x²+4．
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（0，4）．
（2）设平移后的解析式为y=-（x-h）²+4，
将x=0代入得：y=-h²+4．
∴OE=|-h²+4|．
∴点F的坐标为（2+h，0）．
∴OF=|2+h|．
∵OE=OF，
∴|-h²+4|=|2+h|．
∴|（2+h）（2-h）|=|2+h|．
∴|2-h|=1．
解得：2-h=1或2-h=-1．
解得：h=1或h=3．
∴点F的坐标为（3，0）或（5，0）．

点评 本题主要考查的是利用待定系数法求二次函数的解析式，平移与坐标变化，求得平移后点E和点F的坐标是解题的关键．