Question

9．已知关于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，求出方程的另一个根．

Answer 1

分析 （1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞0即可．△=[-（m+2）]²-4（2m-1）=m²-4m+8=（m-2）²+4，因为（m-2）²≥0，可以得到△＞0；
（2）将x=1代入方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0，求出m的值，进而得出方程的解．

解答 （1）证明：∵△=[-（m+2）]²-4（2m-1）=m²-4m+8=（m-2）²+4，
而（m-2）²≥0，
∴△＞0．
∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：∵方程的一个根是1，
∴1²-（m+2）+2m-1=0，
解得：m=2，
∴原方程为：x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3．
故方程的另一个根是3．

点评 此题考查了根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义．