【题目】我们规定:在正方形ABCD中,以正方形的一个顶点A为顶点,且过对角顶点C的抛物线,称为这个正方形的以A为顶点的对角抛物线.
(1)在平面直角坐标系xOy中,点在轴正半轴上,点C在y轴正半轴上.
①如图1,正方形OABC的边长为2,求以O为顶点的对角抛物线;
②如图2,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为a,其以O为顶点的对角抛物线的解析式为y= x2 , 求a的值;
(2)如图3,正方形ABCD的边长为4,且点A的坐标为(3,2),正方形的四条对角抛物线在正方形ABCD内分别交于点M、P、N、Q,直接写出四边形MPNQ的形状和四边形MPNQ的对角线的交点坐标.
【答案】
(1)
解:①如图1中,设O为顶点的抛物线的解析式为y=ax2,
∵过B(2,2),
∴2=4a,
∴a= ,
∴所求的抛物线的解析式为y= x2.
②如图2中,设B(a,a).
则有a= a2,解得a=4或0(舍弃),
∴B(4,4),
∴OA=4,
∴正方形的边长为4
(2)
解:如图3中,结论:四边形MPNQ是菱形,对角线的交点坐标为(5,4).
理由:∵正方形ABCD的边长为4,A(3,2),
∴B(7,2),C(7,6),D(3,6),
∴以A为顶点的对角抛物线为y= (x﹣3)2+2,
以B为顶点的对角抛物线为y= (x﹣7)2+2,
以C为顶点的对角抛物线为y=﹣ (x﹣7)2+6,
以D为顶点的对角抛物线为y=﹣ (x﹣3)2+6,
由 可得M(5,3),
由 可得N(5,5),
由 可得P(3+2 ,4),
由 可得Q(7﹣2 ,4),
∴PM= ,
PN= ,
QN= ,
QM= ,
∴PM=PN=QN=QM,
∴四边形MPNQ是菱形,对角线的交点坐标为(5,5)
【解析】(1)①设O为顶点的抛物线的解析式为y=ax2 , 把B(2,2)代入即可解决问题.②设B(a,a).代入y= x2求出a即可解决问题.(2)如图3中,结论:四边形MPNQ是菱形,对角线的交点坐标为(5,4).求出A、B、C、D的顶点的对角抛物线,利用方程组求出M、P、N、Q的坐标即可解决问题.
【考点精析】关于本题考查的正方形的性质,需要了解正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能得出正确答案.
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【题目】如图,已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,与函数y=x的图象交于点M,点M的横坐标为2.在x轴上有一点P (a,0)(其中a>2),过点P作x轴的垂线,分别交函数和y=x的图象于点C,D.
(1)求点A的坐标;
(2)若OB=CD,求a的值.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若AB=4+ ,BC=2 ,求⊙O的半径.
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【题目】某仓库本周运进货物件数和运出货物件数如下表:
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
运进货物件数 | 5 | a | 5 | 5 | b | 5 | 5 |
运出货物件数 | 12 | 2a | 8 | 0 | b﹣5 | 5 | 10 |
(1)如果用正数表示运进货物件数,负数表示运出货物件数,请你分别表示出周二、周五当天进出货物后变化的量;
(2)若经过一周的时间,仓库货物总量相比上周末库存量减少了5件,求a的值;
(3)若本周运进货物总件数比运出货物件数的一半多15件,本周运进货物总件数比上周减少,而本周运出货物总件数比上周多,这两周内,该仓库货物共增加了3件,求a、b的值.
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【题目】如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AD的两侧,且AE=DF,∠A=∠D,AB=DC.
(1)求证:四边形BFCE是平行四边形;
(2)若AD=10,DC=3,∠EBD=60°,则BE= 时,四边形BFCE是菱形.
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【题目】小明从A点出发向北偏东60°方向走了80m米到达B地,从B地他又向西走了160m到达C地.
(1)用1:4000的比例尺(即图上1cm等于实际距离40m)画出示意图,并标上字母;
(2)用刻度尺出AC的距离(精确到0.01cm),并求出C但距A点的实际距离(精确到1m);
(3)用量角器测出C点相对于点A的方位角.
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【题目】为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某市采用价格调控的手段达到节水的目的,该市自来水收费的价目表如下表(注:水费按月份结算,表示立方米):
价目表 | |
每月用水量 | 单价 |
不超出的部分 | 元 |
超出不超出的部分 | 元 |
超出的部分 | 元 |
注:水费按月结算 |
例:若某户居民月份用水,应收水费为(元).
请根据上表的内容解答下列问题:
填空:若该户居民月份用水,则应收水费________元;
若该户居民月份用水(其中),则应收水费多少元?(用含的表示,并化简)
若该户居民,两个月共用水(月份用水量超过了月份),设月份用水,求该户居民,两个月共交水费多少元?(用含的表示,并化简)
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【题目】如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,已知下列6个条件:①AB∥DC;②AB=DC;③AC=BD;④∠ABC=90°;⑤OA=OC;⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ②⑤⑥ D. ④⑤⑥
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