Question

9．如图，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，以C为顶点的45°的角在△ABC形内旋转，角的两边交AB于点E、F，求证：EF²=AE²+BF²．

Answer 1

分析 先把△CBF绕点C顺时针旋转90°，得到△ACP，连接EP得出BF=AP，CF=CP，∠CBF=∠CAP=45°．再证出△PCE≌△FCE，得出EF=EP，再根据∠PAE=45°+45°=90°，得出AE²+AP²=EP²，即可得出答案．

解答 证明：把△CBF绕点C顺时针旋转90°，得到△ACP．连接EP．
则△CBF≌△CAP．
∴BF=AP，CF=CP，∠CBF=∠CAP=45°．
∵∠ACB=90°，∠PCF=90°．
∴∠PCE=∠ECF=45°，
在△PCE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CP=CF}\\{∠PCE=∠FCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△PCE≌△FCE（SAS）．
∴EF=EP，
又∵∠PAE=45°+45°=90°，
∴AE²+AP²=EP²，
∴EF²=AE²+BF²．

点评 此题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是全等三角形的判定与性质，旋转的性质和勾股定理，熟练掌握旋转的性质，充分运用全等三角形的性质找到相关的角和线段之间的关系是本题的关键．