Question

17．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，CD⊥x轴于点D，连接DE交AB于点M，若D（a，0）E（0，b），且满足b²+2ab+2b²-12b+36=0
（1）求a，b的值；
（2）求证：M是BA的中点；
（3）直线AC与DE交于点N，若S_△AME-S_△BDM=8，求点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）由配方法得出（a+b）²+（b-6）²=0，由偶次方的非负性质得出a+b=0，b-6=0，得出b=6，a=-6；
（2）连接CM，证出△DOE是等腰直角三角形，得出∠ODE=∠OED=45°，求出∠CDM=45°，由等腰直角三角形的性质得出∠CBA=∠CAB=45°，得出∠CBA=∠CDM，证明C、B、D、M四点共圆，得出∠BCM+∠BDM=180°，求出∠BCM=45°，由等腰三角形的性质即可得出结论；
（3）作AP∥OB交DE于P，则△APM∽△BDM，△APE是等腰直角三角形，求出△APM的面积=△BDM的面积，得出△APE的面积=8，求出AP=AE=4，得出BD=4，OA=2，A（0，2），作CF⊥OE于F，由AAS证明△ACF≌△BCD，得出AF=BD=4，CF=CD=6，求出F（-6，6），再由待定系数法求出直线AC和DE的解析式，由两条直线解析式组成方程组，解方程组即可．

解答 （1）解：∵a²+2ab+2b²-12b+36=0，
∴（a+b）²+（b-6）²=0，
∴a+b=0，b-6=0，
∴b=6，a=-6；
（2）证明：连接CM，如图1所示：
由（1）得：D（-6，0）E（0，6），
∴OD=OE=6，
∵∠DOE=90°，
∴△DOE是等腰直角三角形，
∴∠ODE=∠OED=45°，
∵CD⊥x轴，
∴∠CDM=90°-45°=45°，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∴∠BDM=90°+45°=135°，∠CBA=∠CDM，
∴C、B、D、M四点共圆，
∴∠BCM+∠BDM=180°，
∴∠BCM=45°，
∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，
∴M是BA的中点；
（3）解：作AP∥OB交DE于P，如图所示：则△APM∽△BDM，△APE是等腰直角三角形，
∴AP：BD=AM：BM，AP=AE，
∵M是BA的中点，
∴AM=BM，
∴△APM的面积=△BDM的面积，
∵S_△AME-S_△BDM=8，
∴△APE的面积=8，
∴AP=AE=4，
∴BD=4，OA=2，
∴A（0，2），
作CF⊥OE于F，则∠DCF=90°，
∴∠ACF=∠BCD，
在△ACF和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CFA=∠CDB=90°}&{\;}\\{∠ACF=∠BCD}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCD（AAS）
，∴AF=BD=4，CF=CD=6，
∴F（-6，6），
设直线AC的解析式为y=kx+e，直线DE的解析式为y=dx+c，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-6k+e=6}\\{e=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-6d+c=0}\\{c=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{e=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{d=1}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+2，直线DE的解析式为y=x+6，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{3}x+2}\\{y=x+6}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{12}{5}}\\{y=\frac{18}{5}}\end{array}\right.$，
∴点N的坐标为（-$\frac{12}{5}$，$\frac{18}{5}$）．

点评 本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质与判定、坐标与图形性质、四点共圆、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法求直线的解析式等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要求出直线解析式才能得出结果．