Question

8．如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，点P是射线AB上动点，点E在边AC上，AE=PE，过点P作PE的垂线交射线AC于点F；若AP=x，△PEF与△ABC重合的部分面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤8，8＜x≤12，12＜x＜p时，函数的解析式不同）
（1）填空：BC=4$\sqrt{3}$
（2）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据0＜x≤8和8＜x≤12的函数的解析式不同可知：AP=8，AB=12，作等腰△AEP的高线EG，证明△AEG∽△ACB，求出BC的长；
（2）先求出∠A=30°，及直角△PEF的各内角的度数，分三种情况进行讨论：
①当0＜x≤8时，如图2，△PEF与△ABC重合的部分是△PEF，
②当8＜x≤12时，如图3，△PEF与△ABC重合的部分是四边形CEPH，
③先根据图4求出p的值，当12＜x＜24时，如图5，△PEF与△ABC重合的部分是△ECM，
分别代入面积公式求解即可．

解答 解：（1）如图1，根据0＜x≤8和8＜x≤12的函数的解析式不同可知：
AP=8，AB=12，
∴PB=12-8=4，
过E作EG⊥AB于G，则∠AGE=90°，
∵AE=EP，
∴AG=PG=4，
∵∠B=90°，
∴∠B=∠AGE，
∴EG∥BC，
∴△AEG∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{EG}{BC}$=$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$，
设EG=a，则BC=3a，
∵PE⊥PF，
∴∠EPF=90°，
∴∠EPG+∠BPF=90°，
∵∠EPG+∠PEG=90°，
∴∠BPF=∠PEG，
∵∠B=∠PGE=90°，
∴△PEG∽△CPB，
∴$\frac{PG}{BC}=\frac{EG}{PB}$，
∴$\frac{4}{3a}$=$\frac{a}{4}$，
3a²=16，
a=±$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵a＞0，
∴a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴BC=3a=4$\sqrt{3}$，
故答案为：4$\sqrt{3}$；
（2）由勾股定理得：AC=$\sqrt{1{2}^{2}+（4\sqrt{3}）^{2}}$=8$\sqrt{3}$，
∴AC=2BC，
∴∠A=30°，
∵AE=EP，
∴∠A=∠EPA=30°，
∴∠FEP=60°，
∴∠EFP=30°，
分三种情况：
①当0＜x≤8时，如图2，△PEF与△ABC重合的部分是△PEF，
过E作EG⊥AB于G，
则AG=$\frac{1}{2}$x，
cos30°=$\frac{AG}{AE}$，
∴AE=$\frac{AG}{cos30°}$=$\frac{\frac{1}{2}x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴PE=AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
在Rt△EPF中，tan30°=$\frac{PE}{PF}$，
∴PF=$\frac{PE}{tan30°}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=x，
∴S=S_△PEF=$\frac{1}{2}$PE•PF=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²=$\frac{\sqrt{3}}{6}{x}^{2}$；
②当8＜x≤12时，如图3，△PEF与△ABC重合的部分是四边形CEPH，
过E作E作EG⊥AB于G，过H作HM⊥AC于M，
AE=PE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，PF=x，
∴EC=AC-AE=8$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴FC=EF-EC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-（8$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）=$\sqrt{3}$x-8$\sqrt{3}$，
∵∠F=30°，∠ACB=60°，
∴∠F=∠CHF=30°，
∴CH=FC=$\sqrt{3}$x-8$\sqrt{3}$，
∴sin60°=$\frac{MH}{CH}$，
MH=CH•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\sqrt{3}$x-8$\sqrt{3}$）=$\frac{3}{2}$x-12，
∴S=S_△DEF-S_△CHF=$\frac{\sqrt{3}}{6}{x}^{2}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$x-8$\sqrt{3}$）（$\frac{3}{2}x$-12）=-$\frac{7\sqrt{3}}{12}{x}^{2}$+12$\sqrt{3}$x-48$\sqrt{3}$；
③如图4，当E与C重合时，S=0，此时x=AP=2AB=24，即p=24，

当12＜x＜24时，如图5，△PEF与△ABC重合的部分是△ECM，
∵AC=8$\sqrt{3}$，AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴EC=8$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵∠EMC=∠BMP=60°，∠ACB=60°，
∴△ECM是等边三角形，
∴CM=EC=8$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵AB=12，AG=$\frac{1}{2}$x，
∴BG=12-$\frac{1}{2}$x，
∴S=S_△ECM=$\frac{1}{2}$CM•BG=$\frac{1}{2}$（8$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）（12-$\frac{1}{2}$x）=$\frac{\sqrt{3}}{12}{x}^{2}-4\sqrt{3}x+48\sqrt{3}$；
综上所述，S关于x的函数解析式为：
S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{6}{x}^{2}（0＜x≤8）}\\{-\frac{7\sqrt{3}}{12}{x}^{2}+12\sqrt{3}x-48\sqrt{3}（8＜x≤12）}\\{\frac{\sqrt{3}}{12}{x}^{2}-4\sqrt{3}x+48\sqrt{3}（12＜x＜24）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了动点问题的函数图象，有难度，需要认真理解两个图形中标记的数字的含义，如本题中的8和12的意义是关键，对于重叠部分的面积，先确定其特殊位置，再分情况进行讨论，代入面积公式即可求出相应的解析式．