Question

如图，已知，AD是ABC的中线，且∠DAC=∠B，CD=CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD：
（2）若AB=12，BC=8，试求AC和AD的长．

Answer 1

分析：（1）根据已知角相等，等腰三角形底角的外角相等证明三角形相似；
（2）由∠DAC=∠B及公共角相等证明∴△ACD∽△BCA，利用相似比求AC，再由（1）的结论△ACE∽△BAD，利用相似比求AD．

解答：解：（1）证明：∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∴∠AEC=∠BDA，
又∵∠DAC=∠B，
∴△ACE∽△BAD；

（2）∵∠DAC=∠B，∠ACD=∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴

AC

BC

=

CD

AC

，即

AC

8

=

4

AC

，
∴AC=4

2

，
∵△ACE∽△BAD，
∴

AC

BA

=

CE

AD

，即

4 2

12

=

4

AD

，
∴AD=6

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用已知相等角，等腰三角形底角的外角相等，证明三角形相似．