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    已知，如图①，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB=4，在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°．
    （1）求AP的长；
    （2）求证：点P在∠MON的平分线上．
    （3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．
    ①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；
    ②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．

    【答案】分析：（1）过点P作PQ⊥AB于点Q．根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知AQ=BQ=AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度；
    （2）作辅助线PS、PT（过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T）构建全等三角形△APS≌△BPT；然后根据全等三角形的性质推知PS=PT；最后由角平分线的性质推知点P在∠MON的平分线上；
    （3）利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB．①当AB⊥OP时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度；②当AB⊥OP时，OP取最大值，即四边形CDEF的周长取最大值；当点A或B与点O重合时，四边形CDEF的周长取最小值．
    解答：（1）解：过点P作PQ⊥AB于点Q．
    ∵PA=PB，∠APB=120°，AB=4
    ∴AQ=BQ=2，∠APQ=60°（等腰三角形的“三线合一”的性质），
    在Rt△APQ中，sin∠APQ=
    ∴AP====4；

    （2）证明：过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T．
    ∴∠OSP=∠OTP=90°（垂直的定义）； 
    在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOB-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，
    ∴∠APB=∠SPT=120°，∴∠APS=∠BPT；
    又∵∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，
    ∴△APS≌△BPT，
    ∴PS=PT（全等三角形的对应边相等）
    ∴点P在∠MON的平分线上；

    （3）①∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，OP⊥AB，
    ∴AQ=BQ=AB=2，
    ∴OQ==6，
    同理：PQ==2，
    ∴OP=8，
    ∵点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，
    ∴CD=EF=AB，CF=DE=OP，
    ∴四边形CDEF的周长为：8+4  
    ②CD和EF是△ABO和△ABP的中位线，
    则CD=EF=AB=2，
    CF和DE分别是△AOP和△BOP的中位线，则CF=DE=OP，
    当AB⊥OP时，OP为四点边形AOBP外接圆的直径时，OP最大，其值是8，OP一定大于当点A或B与点O重合时的长度是4．
    则4+4＜t≤8+4．
    点评：本题综合考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、解直角三角形以及全等三角形的判定与性质．解答该题时，利用了角平分线逆定理--到角两边的距离相等的点在角平分线角平分线上．
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    （1）求证：AF=DM；
    （2）当EM⊥AC时，用含x的代数式表达AD的长；
    （3）在（2）题条件下，若以MO为半径的⊙M与以FD为半径的⊙F相切，求x的值．

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    （2）若点O是BC的中点，联接MP、MO、OP，设四边形AMOP的面积是y，求y关于x的函数关系式，并出写出x的取值范围；
    （3）把△MPA沿着直线MP翻折后得到△MPN，是否可能使△MPN的一条边（折痕边PM除外）与AC垂直？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

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    （1）求底边BC的长；

    （2）若点O是BC的中点，联接MP、MO、OP，设四边形AMOP的面积是y，求y关于x的函数关系式，并出写出x的取值范围；

    （3）把△MPA沿着直线MP翻折后得到△MPN，是否可能使△MPN的一条边（折痕边PM除外）与AC垂直？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

     

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