Question

如图，在△ABC中，∠ACB=120°，AC=

7

，BC=2

7

，D、E是线段AB上两点且△CDE为等边三角形．
（1）求线段AD的长；
（2）求△CDB的面积．

Answer 1

分析：（1）因为△CDE是等边三角形，所以∠CDE=∠CED=60°，可得出∠ADC=∠BEC=120°．则△ACD∽△ABC∽△BCE．因此得相关线段之间的关系，根据勾股定理求解．
（2）根据（1）中所得数据，代入面积公式计算．

解答：解：（1）作CF⊥AB于F点．
∵△CDE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°，
∴∠ADC=∠ACB=120°．
在△ACD和△ABC中，
∠ADC=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴

AD

AC

=

CD

BC

．
设AD=x，
∵AC=

7

，BC=2

7

，
∴CD=2x．
同理，BE=4x．
∵△ADE为等边三角形，CF⊥AB，
∴DF=

1

2

DE=

1

2

CD=x，CF=

3

x，AF=2x．
在Rt△ACF中，AC=

7

，则（2x）²+（

3

x）²=（

7

）²
∴x=1．（-1舍去）
即AD=1．

（2）由（1）得BD=2+4=6．
S_△CDB=

1

2

×6×

3

=3

3

．

点评：此题考查了相似三角形的性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点．把相关线段转换到直角三角形中是关键．