Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是CD上一点，AD=DE，BC=CE，F是AB的中点，AE、DF交于G，BE、CF交于H．
（1）判断△ABE的形状并说明理由；
（2）若以AB为直径作⊙F，试证明CD与⊙F相切于点E．
（3）若AD=DE=1cm，BC=CE=3cm，求四边形FHEG的面积．

Answer 1

（1）结论：△ABE是直角三角形．
证明：∵AD=DE，BC=EC．∴∠DAE=∠DEA，∠BEC=∠EBC．
∴∠DEA=（180°-∠ADE），∠BEC=（180°-∠ECB）．
∵AD∥BC．∴∠ADE+∠ECB=180°．
∴∠DEA+∠BEC=（180°-∠ADE）+（180°-∠ECB）=90°．
∴∠BEA=180°-（∠DEA+∠BEC）=90°．
∴△ABE是直角三角形．

（2）连接EF．∵∠BEA=90°．∴点E在以AB为直径的圆上．
∴AF=EF．又∵AD=DE，DF=DF．
∴△DAF≌△DEF．∴∠DEF=∠DAF=90°．
∴CD与⊙F相切于点E．

（3）∵AD=DE，AF=EF．
∴DF垂直平分AE．
∴∠EGF=90°．同理：∠EHF=90°．
又∵∠BEA=90°∴四边形GFHE是矩形．
∵EF²=DE×EC=3，∴EF=，
tan∠DFE==，∴∠DFE=30°，
∴FG=EF•cos30°=，FH=EF•sin30°=，
∴四边形FHEG的面积．
分析：（1）由AD∥BC，得∠ADE+∠ECB=180°，根据△ADE，△CBE为等腰三角形，表示∠AED，∠BEC，根据∠BEA=180°-（∠DEA+∠BEC）求度数，判断结论；
（2）连接EF，AB为直径，且∠BEA=90°，可判断点E在以AB为直径的圆上，只需要证明EF⊥CD即可；
（3）证明∠CFD=90°，判断四边形GFHE是矩形，又EF⊥CD，由相似可得EF²=DE×EC，可求半径EF，解直角三角形得∠DFE=30°，再分别求FG，EG即可．
点评：本题考查了切线的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的知识．关键是连接EF，利用内角和定理判断特殊三角形．