Question

10．已知x=1+2m，y=1-m．
（1）若点（x，y）恰为抛物线y=ax²-ax+1的顶点，求a的值；
（2）求y关于x的函数表达式；
（3）若-3≤m≤1，x≤0，求y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）表示出抛物线的对称轴，确定出x的值，进而求出m的值，确定出顶点坐标，即可求出a的值；
（2）由x与y，消去m即可得到y与x的函数表达式；
（3）根据x≤0求出m的范围，结合已知m范围求出m的具体范围，即可求出y的范围．

解答 解：（1）抛物线y=ax²-ax+1的对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$，即1+2m=$\frac{1}{2}$，
∴m=-$\frac{1}{4}$，即x=1+2m=$\frac{1}{2}$，y=1-m=$\frac{5}{4}$，
把顶点（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）代入y=ax²-ax+1，得：$\frac{5}{4}$=$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$a+1，
解得：a=-1；
（2）由x=1+2m得：m=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
∴y=1-m=1-（$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$；
（3）当x≤0时，1+2m≤0，
解得m≤-$\frac{1}{2}$，
又-3≤m≤1，
∴-3≤m≤-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{3}{2}$≤1-m≤4，
则y的范围为$\frac{3}{2}$≤y≤4．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．