Question

在锐角△ABC中，a、b、c分别表示为∠A、∠B、∠C的对边，O为其外心，则O点到三边的距离之比为（　　）

• A、a：b：c
• B、

  1

  a

  ：

  1

  b

  ：

  1

  c

• C、cosA：cosB：cosC
• D、sinA：sinB：sinC

Answer 1

分析：此题可分别过三角形的三个顶点作⊙O的直径，在构建的直角三角形中，根据圆周角定理和三角形中位线定理来求得三条弦心距的比例关系．

解答：解：如图，过A作⊙O的直径AG，连接BG，设⊙O的半径为R；
∵AG是⊙O的直径，
∴∠ABG=90°；
∵OD⊥AB，
∴OD∥BG；
又∵O是AG的中点，
∴OD是△ABG的中位线，即BG=2OD；
Rt△ABG中，∠G=∠C，
∴BG=AG•cosG=2R•cosC；
∴OD=R•cosC，即O到AB边的距离为R•cosC；
同理可证得：OE=R•cosA，OF=R•cosB；
∴点O到三边的距离之比为：（R•cosA）：（R•cosB）：（R•cosC）=cosA：cosB：cosC；
故选C．

点评：此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理、三角形中位线定理、解直角三角形等知识的综合应用；能够正确的构建出与所求相关的直角三角形是解答此题的关键．