Question

3．AB为⊙O的直径，点C在$\widehat{AB}$上运动（与点A，B不重合），过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，过C点作⊙O的切线，交线段BD于点E．
（1）如图1，求证：BE=DE；
（2）如图2，延长CE，交AB的延长线于点F，若EF=BD，求证：AB=2BF；
（3）在（2）的条件下，作CG⊥AB于点G，交⊙O于点H，连EH，求tan∠CHE的值．

Answer 1

分析 （1）连结BC．依据直径所对的圆周角是直角可证明，然后依据切线长定理可知EC=EB，依据等腰三角形的性质可得到∠ECB=∠EBC，接下来，依据等角的余角相等可证明∠D=∠DCE，从而得到CE=DE，通过等量代换可得到BE=DE；
（2）连结BC．由题意可得到EF=2BE，在△BEF中，依据特殊锐角三角形函数值可求得∠F=30°，接下来，证明△CDE为等边三角形，于是可证明∠A=30°，依据含30°直角三角形的性质可得到AB=2BC，然后再证明∠FCB=∠F=30°，于是得到BC=BF，从而得到问题的答案；
（3）如图3所示：记HE与AF的交点为N．由等腰三角形的三线合一的性质可得到AG=FG=1.5BF于是得到BG=0.5BF，然后由BE∥CH，可证明$\frac{GN}{NB}=\frac{BE}{GC}=\frac{2}{3}$，从而可得到GN=0.3BF，然后在△AGC中，依据特殊锐角三教函数值可求得GC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$FB，于是得到GH的长度，最后在△HGN中利用锐角三角形函数的定义求解即可．

解答 解：（1）证明：连结BC．

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠DCB=90°．
∴∠CBD+∠D=90°，∠DCE+∠BCE=90°．
∵CE、BE是⊙O的切线，
∴CE=BE．
∴∠ECB=∠EBC．
∴∠D=∠DCE．
∴CE=DE．
∴DE=BE．
（2）如图2所示：连结BC．

∵EF=BD，BE=DE，
∴EF=2BE．
∵BE为⊙O的切线，
∴OB⊥BE．
∴∠EBF=90°．
∴sin∠F═$\frac{1}{2}$．
∴∠F=30°．
∴∠BEF=60°．
又∵CE=DE，
∴△CDE为等边三角形．
∴∠D=60°．
∴∠A=30°．
∴BF=2BF，∠CBA=60°．
∵∠F+∠FCB=60°，∠F=30°
∴∠F=∠FCB=30°．
∴CB=FB．
∴AB=2BF．
（3）如图3所示：

∵∠A=∠F=30°，CG⊥AB，
∴AG=FG．
∵AB=2BF．
∴AF=3BF，GF=1.5BF．
∴BG=0.5BF．
∵BE∥CH，
∴$\frac{BE}{CG}=\frac{BF}{FG}$=$\frac{2}{3}$．
由垂径定理可知GC=GH．
∴$\frac{EB}{GH}=\frac{GN}{NB}=\frac{2}{3}$．
∴GN=0.3BF．
∵tan∠A=$\frac{GC}{AG}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{GC}{1.5BF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴GC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$FB．
∴GH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$FB．
∴tan∠CHE=$\frac{GN}{GH}$=$\frac{0.3BF}{\frac{\sqrt{3}}{2}BF}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了切线的性质、圆周角定理、特殊锐角三角函数值，等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，由BE∥CH求得GN的长是解题的关键．