Question

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将直线y=kx（k≠0）沿y轴向上平移2个单位得到直线l，已知直线l经过点A（-4，0）
（1）求直线l的解析式；
（2）设直线l与y轴交于点B，在x轴正半轴上任取一点C（OC＞2），在y轴负半轴上取点D，使得OD=OC，过D作直线DH⊥BC于H，交x轴于点E，求点E的坐标；
（3）若点P的坐标为（-3，m），△ABP与△ABO的面积之间满足S_△ABP=$\frac{1}{2}$S_△ABO，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由平移和待定系数法求出直线l的解析式；
（2）设出点C坐标，表示出点D的坐标和直线BC解析式，进而表示出直线DH解析式，令y=0求出点E坐标；
（3）先求出三角形AOB的面积，进而得出三角形ABP的面积，三角形ABP的面积用三角形PAF和BAF的面积之和建立方程求出m的值．

解答 解：（1）∵将直线y=kx（k≠0）沿y轴向上平移2个单位得到直线l，
∴设直线l解析式为y=kx+2，
∵直线l经过点A（-4，0）
∴-4k+2=0，
∴k=$\frac{1}{2}$，
∴直线l的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，
（2）设点C（n，0），（n＞2）
∴OC=n．
∵OD=OC，
∴OD=n，
∵点D在y轴负半轴上，
∴D（0，-n），
∵C（n，0），B（0，2），
∴直线BC解析式为y=-$\frac{2}{n}$x+2，
∵DH⊥BC，D（0，-n），
∴直线DH的解析式为y=$\frac{n}{2}$x-n，
∵点E在x轴上，
∴0=$\frac{n}{2}$x-n，
∴x=2，
∴E（2，0）；
（3）如图，

∵A（-4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA×OB=$\frac{1}{2}$×4×2=4，
S_△ABP=$\frac{1}{2}$S_△ABO=$\frac{1}{2}$×4=2，
过点P作y轴的平行线，交AB于F，交x轴于G，
由（1）知，直线AB解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，
∵P（-3，m），
∴F（-3，$\frac{1}{2}$），
∴PF=|m-$\frac{1}{2}$|，
∴S△ABP=S△APF+S△BPF
=$\frac{1}{2}$PF×AG+$\frac{1}{2}$PF×OG
=$\frac{1}{2}$PF×（AG+OG）
=$\frac{1}{2}$PF×OA
=$\frac{1}{2}$|m-$\frac{1}{2}$|×4
=2|m-$\frac{1}{2}$|
=2，
∴m=$\frac{3}{2}$或m=-$\frac{1}{2}$．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图象的平移，三角形的面积，解本题的关键是设出点C的坐标，表示出直线BC和直线DH的解析式．