Question

6．如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，AH⊥EF，求证：AH=AB．

Answer 1

分析 延长CD到M，使DM=BE，连接AM，证△ABE≌△ADM，推出∠DAM=∠BAE，AE=AM，求出∠FAM=∠EAF，证△EAF≌△MAF，推出EF=MF，S_△EAF=S_△MAF，根据三角形面积公式求出即可．

解答 证明：延长CD到M，使DM=BE，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADF=∠ADM=∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
在△ABE和△ADM中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠ADM}\\{BE=DM}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADM，
∴∠DAM=∠BAE，AE=AM，
∴∠FAM=∠DAF+∠DAM=∠DAF+∠BAE=45°=∠EAF，
在△EAF和△MAF中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AM}\\{∠EAF=∠MAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$
∴△EAF≌△MAF，
∴EF=MF，S_△EAF=S_△MAF，
∴$\frac{1}{2}$EF×AH=$\frac{1}{2}$MF×AD，
∴AH=AD，
∵AD=AB，
∴AH=AB．

点评 本题考查了对全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解题的关键是证明△ABE≌△ADM和△EAF≌△MAF，主要考查学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度．