Question

4．如图，点P为等边△ABC外接圆，劣弧为BC上的一点．
（1）求∠BPC的度数；
（2）求证：PA=PB+PC．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形对角互补，可得答案；
（2）根据等边三角形的判定，可得△PCD的形状，根据全等三角形的判定与性质，可得BD与AP的关系，根据等量代换，可得答案．

解答 （1）解：∵四边形ABPC内接于圆，
∴∠BAC+∠BPC=180．
∵等边三角形ABC中，∠BAC=60°，
∴∠BPC=120°； 
（2）证明：延长BP到D，使得DP=PC，连接CD．
∵∠BPC=120，
∴∠CPD=60．
又∵PC=PD，
∴△PCD是等边三角形，
∴PC=CD，∠PCD=60°，
∴∠ACM+∠MCP=PCD+∠MCP，
即∠ACP=∠BCD．
∵等边三角形ABC中，
∴BC=AC．
∵$\widehat{PC}$所对的圆周角是∠DBC与∠PAC，
∴∠DBC=∠PAC．
在△DBC和△PAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠PAC}\\{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACP}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△PAC（ASA），
∴AP=BD．
∵BD=BP+DP，
∴AP=BP+DP，
∵DP=PC，
∴PA=PB+PC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，利用等式的性质得出∠ACM+∠MCP=PCD+∠MCP是解题关键．