Question

10．分别以△ABC的AB、AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，连结CD、BE交于F，求证：AF平分∠DFE．

Answer 1

分析 由△ABD与△ACE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为60°，利用等式的性质得到∠DAC=∠BAE，利用SAS可得出△DAC≌△BAE，得出∠ADC=∠ABE，∠ACD=∠AEB，证得A，D，B，F四点共圆，A，E，C，F四点共圆，进一步得出∠DFA=∠ABD=60°，∠AFE=∠ACE=60°解决问题．

解答 证明：∵△ABD和△ACE都为等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE（SAS）；
∴∠ADC=∠ABE，∠ACD=∠AEB，
∴A，D，B，F四点共圆，A，E，C，F四点共圆，
∴∠DFA=∠ABD=60°，∠AFE=∠ACE=60°，
∴AF平分∠DFE．

点评 此题考查三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定，圆周角定理，掌握三角形的判定方法是解决问题的关键．