Question

如图，?ABCD的顶点A、C、D都在⊙O上，AB与⊙O相切于点A，设∠OCD=α，∠BAD=β．
（1）若α=50°，求β的值；
（2）试探究α与β之间的数量关系，并求出OE∥AB时α的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）延长AO交CD于F，利用已知条件和平行四边形的性质可证明：∠OCD=∠ODC，∠OAD=∠ODA，进一步得到∠COF=∠DOF=40°，再利用圆周角定理可得∠BAD=β=90°+20°=110°；    
（2）α与β之间的数量关系为：β+α=135°，连接OE，由?ABCD可知∠BCD=∠BAD=β，∠B+∠BAD=180°，所以∠BCD=∠OCE+α=β，即β=180°-β+α，整理得：2β=180°+α，再利用已知关系式求出OE∥AB时α的值即可．
解答：解：（1）延长AO交CD于F，
∵AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
由?ABCD可知AB∥CD，
∴AF⊥CD，
而OC=OD=OA，
∴∠OCD=∠ODC，∠OAD=∠ODA，
∵∠OCD=α=50°，
∴∠COF=∠DOF=40°，
∴∠OAD=∠ODA=20°，
即∠BAD=β=90°+20°=110°； 
   
（2）α与β之间的数量关系为：β+α=135°，
连接OE，
∵∠OCD=∠ODC，OF⊥CD，
∴∠COF=∠DOF=90°-α，
∵∠OAD=∠ODA，
∴∠OAD=（90°-α），
∴β=90°+（90°-α）=135°-，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
故当OE∥AB时，∠B=∠OCE，
由?ABCD可知∠BCD=∠BAD=β，∠B+∠BAD=180°，
∴∠BCD=∠OCE+α=β，即β=180°-β+α，2β=180°+α，
再由β=135°-，可求得α=45°．
故所求α=45°．
点评：本题考查了平行四边形的性质、圆的切线的性质、圆周角定理以及等腰三角形的判定和性质，还考查了学生的探究的能力，题目的难度不小．