Question

如图1，在平面直角坐标系中，A（m，0），B（0，n），反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过点P（m，n），且m=

n-1

+

1-n

+1．
（1）双曲线上是否存在两点C、D，使四边形ABCD是平行四边形？若存在，求出C、D两点的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若m=3，n=4，过点A作AB的垂线交y轴于E点，取线段AE的中点D，过点B作AB的垂线交DO于F点，则求

1

BF

+

1

AD

的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）根据二次根式有意义的条件得n=1，则m=1，即有A（1，0），B（0，1），P（1，1），于是可确定反比例函数解析式为y=

1

x

；作CE⊥x轴，DE⊥y轴，它们相交于E点，根据平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，易证得△CED≌△BOA，得到CE=BO=1，DE=OA=1，设C（t，

1

t

），则D点坐标为（t+1，

1

t

-1），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到（t+1）•（

1

t

-1）=1，解得t₁=

-1+ 5

2

，t₂=

-1- 5

2

（舍去），由此可得到C点坐标为（

5 -1

2

，

5 +1

2

），D点坐标为（

5 +1

2

，

5 -1

2

）；
（2）先证明Rt△AOB∽Rt△EOA，利用相似比可计算出OE=

9

4

，在Rt△AOE中，利用勾股定理计算出AE=

15

4

，则AD=ED=

1

2

AE=

15

8

，再证明△BOF∽△EOD，
利用相似比计算出BF=

10

3

，然后计算

1

BF

+

1

AD

的值．

解答：解：（1）存在．
∵n-1≥0且1-n≥0，
∴n=1，
∴m=1，
∴A（1，0），B（0，1），P（1，1），
∴k=1×1=1，
∴反比例函数解析式为y=

1

x

，
作CE⊥x轴，DE⊥y轴，它们相交于E点，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴△CED≌△BOA，
∴CE=BO=1，DE=OA=1，
设C（t，

1

t

），则D点坐标为（t+1，

1

t

-1），
∴（t+1）•（

1

t

-1）=1，
整理得t²+t-1=0，解得t₁=

-1+ 5

2

，t₂=

-1- 5

2

（舍去），
∴C点坐标为（

5 -1

2

，

5 +1

2

），D点坐标为（

5 +1

2

，

5 -1

2

）；
（2）∵m=3，n=4，
∴OA=3，OB=4，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAO=∠OEA，
∴Rt△AOB∽Rt△EOA，
∴OB：OA=OA：OE，即4：3=3：OE，解得OE=

9

4

，
在Rt△AOE中，AE=

OA2+OE2

=

32+( 9 4 )2

=

15

4

，
∵D为AE的中点，
∴AD=ED=

1

2

AE=

15

8

，
∵BF⊥AB，
∴BF∥AE，
∴△BOF∽△EOD，
∴BF：DE=BO：EO，即BF：

15

8

=4：

9

4

，
∴BF=

10

3

，
∴

1

BF

+

1

AD

=

3

10

+

8

15

=

5

6

．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和平行四边形的性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．