Question

4．如图所示，抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DE⊥BC于点E，作DF平行于x轴交直线BC于点F，求△DEF周长的最大值；
（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax²+bx-3，利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中，连接PB、PC．设P（m，m²-2m-3），由题意△PEF是等腰直角三角形，PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，则有S_△PBC=S_△POB+S_△POC-S_△BOC=$\frac{1}{2}$•3•（-m²+2m+3）+$\frac{1}{2}$•3•m-$\frac{9}{2}$=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，易知m=$\frac{3}{2}$时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大，由此求出PF的长即可解决问题．
（3）①当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，-3）；②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴．易知△PFN≌△PEM，推出PF=PE，设P（m，m²-2m-3），M（1，-4），可得m=m²-2m-3-（-4），解方程即可解决问题；

解答 解：（1）把A（-1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax²+bx-3，
得到$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

（2）如图1中，连接PB、PC．设P（m，m²-2m-3），

∵B（3，0），C（0，-3），
∴OB=OC，
∴∠OBC=45°，
∵PF∥OB，
∴∠PFE=∠OBC=45°，
∵PE⊥BC，
∴∠PEF=90°，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，
则有S_△PBC=S_△POB+S_△POC-S_△BOC=$\frac{1}{2}$•3•（-m²+2m+3）+$\frac{1}{2}$•3•m-$\frac{9}{2}$=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴m=$\frac{3}{2}$时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大，
此时P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），
∵直线BC的解析式为y=x-3，
∴F（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{15}{4}$），
∴PF=$\frac{9}{4}$，
∵△PEF是等腰直角三角形，
∴EF=EP=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$，
∴S_{△PEF最大值}=$\frac{1}{2}$•$\frac{9\sqrt{2}}{8}$•$\frac{9\sqrt{2}}{8}$=$\frac{81}{64}$．

（3）①如图2中，

当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，-3）．点P横坐标为2，
②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴．

易知△PFN≌△PEM，
∴PF=PE，设P（m，m²-2m-3），
∵M（1，-4），
∴m=m²-2m-3-（-4），
∴m=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$（舍弃），
∴P点横坐标为$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
所以满足条件的点P的横坐标为2或$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查二次函数的性质、一次函数、矩形的性质、对称等知识，解题的关键是添加常用辅助线构造全等三角形，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．