Question

如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标以及最值；
（3）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线图象上的三点坐标，可利用待定系数法求出该抛物线的解析式；
（2）将（1）题所得抛物线的解析式，化为顶点坐标式，即可得到该抛物线的顶点坐标以及函数的最值；
（3）根据A、B的坐标，易求得AD=AB=5，则CD=AC-AD=2，连接DQ，由于BD垂直平分PQ，那么DP=DQ，根据等腰三角形三线合一的性质知：∠PDB=∠QDB=∠ABD，即AB∥DQ，此时△CDQ∽△CAB，利用相似三角形得到的比例线段即可求得DQ、PD的长，从而求得AP的值，进而可求得t的值．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-4），则有：
4=a（0+3）（0-4），a=-

1

3

；
故抛物线的解析式为：y=-

1

3

（x+3）（x-4）=-

1

3

x²+

1

3

x+4；

（2）由（1）知：y=-

1

3

x²+

1

3

x+4=-

1

3

（x-

1

2

）²+

49

12

，
故抛物线的顶点坐标为：（

1

2

，

49

12

），最大值为

49

12

；

（3）易知OA=3，OB=OC=4；
则AB=5，AC=7，CD=2；
连接DQ，由于BD垂直平分PQ，则DP=DQ，得：
∠PDB=∠QDB，
而AD=AB，得：∠ABD=∠ADB，
故∠QDB=∠ABD，
得QD∥AB；
∴△CDQ∽△CAB，则有：

CD

CA

=

DQ

AB

，

2

7

=

DQ

5

，
∴PD=DQ=

10

7

，AP=AD-PD=5-

10

7

=

25

7

，
故t=

25

7

．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、抛物线顶点坐标的求法、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质等重要知识，难度适中．