Question

如图，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴切于点C，且OA，OB的长是方程x²-4x+3=0的解．
（1）求M点的坐标．
（2）若P是⊙M上一个动点（不包括A、B两点），求∠APB的度数．
（3）若D是劣弧

AB

的中点，当∠PAD等于多少度时，四边形PADB是梯形？说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）解方程x²-4x+3=0得x₁=1，x₂=3，则OA=1，OB=3，作图ME⊥x轴，垂足为E，则E平分AB，Rt△AEM中，ME=

MA2-AE2

=

3

而求得点M．
（2）连接MA，MB，由MA=MB=AB=2知△MAB是正方形得到∠AMB=60°，
当P时优弧

AB

上的点时，当P时劣弧

AB

上的点时，得到结果．
（3）若梯形PADB中PA∥BD，则∠PAD+∠ADB=180°由（2）可知∠ADB=150°，得到∠PAD=30°，若梯形PADB中PB∥AD，则∠PAD+∠APD=180°由（2）可知∠APB=30°而解得．

解答：解：（1）解方程x²-4x+3=0得x₁=1，x₂=3，
∴OA=1，OB=3，
作图ME⊥x轴，垂足为E，则E平分AB，
∴E（2，0），即M得横坐标为2，
故可得MA=MC=R=2，
在Rt△AEM中，ME=

MA2-AE2

=

3

，
∴M（2，

3

）

（2）连接MA，MB，由MA=MB=AB=2知△MAB是等边三角形
∴∠AMB=60°
当P时优弧

AB

上的点时，∠APB=

1

2

∠AMB=30°
当P时劣弧

AB

上的点时，∠APB=180°-

1

2

∠AMB=150°

（3）若梯形PADB中PA∥BD
则∠PAD+∠ADB=180°由（2）可知∠ADB=150°
∴∠PAD=30°
若梯形PADB中PB∥AD，则∠PAD+∠APD=180°，由（2）可知∠APB=30°
∴∠PAD=150°．

点评：此题综合运用了相交弦定理、垂径定理，由方程求得点的坐标，在正方形中，梯形中来计算弦，以及相关角度．