Question

已知：点A（6，0），B（0，3），线段AB上一点C，过C分别作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，若四边形ODCE为正方形．
（1）求点C的坐标；
（2）若过点C、E的抛物线y=ax²+bx+c的顶点落在正方形ODCE内（包括四边形上），求a的取值范围；
（3）在（2）题的抛物线中与直线AB相交于点C和另一点P，若△PEC∽△PBE，求此时抛物线的解析式．

Answer 1

解：（1）设直线AB的函数解析式：y=kx+b
则，
解得，
∴．
由题意可设C（a，a），则有，
解得a=2，
∴C（2，2）．

（2）由（1）可得E（0，2）
∵抛物线的顶点在正方形内，且过C，E两点，
∴a＞0，且抛物线的对称轴为x=1，
∵，
即b=-2a，
∴顶点纵坐标；．
∴由题意得0≤2-a＜2，
解得0＜a≤2．

（3）∵△PEC∽△PBE
∴，∠PEB=∠ECB．
过点P作PH⊥EB于点H，可知△PEH∽△CBE
∴
∴可设P（m，-2m+2）
∵P在直线上，
∴，
解得
∴P（），
设抛物线y=a（x-1）²+k，可知．
解得，
∴．
分析：（1）根据待定系数法可以求出AB的解析式．C点的横纵坐标相等，因而可以设坐标是（a，a）．代入直线AC的解析式，就可以求出C的坐标．
（2）C、E的坐标已得到，把这两点的坐标代入函数的解析式，就可以得到a，b，c的两个关系式，顶点落在正方形ODCE内，即顶点的纵坐标一定大于或等于0且小于2．就可以得到a的范围．
（3）直线AB的解析式可以求得是，过点P作PH⊥EB于点H，易证△PEH∽△CBE，可设P（m，-2m+2），根据P在直线AB上，可以求出P（），根据待定系数法就可以求出函数的解析式．
点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式．以及相似三角形的性质，对应边的比相等．