Question

如图，△ABC的内心在y轴上，B（0，3）C（3，0），直线AC的解析式为
y=

1

3

x-1，则tanA的值是

 

．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：直线AB交x轴于D，由B和C点坐标易得△OBC为等腰直角三角形，则BC=

2

OB=3

2

，∠OBC=45°，再根据三角形内心的定义得到OB平分∠DBC，则∠DBO=∠OBC=45°，所以△OBD为等腰直角三角形，得到OD=OB=3，D点坐标为（-3，0），于是可用待定系数法确定直线AB的解析式为y=x+3，然后解方程组

y=x+3 y= 1 3 x-1

得到A点坐标为（-6，-3），再根据两点间的距离公式计算出AB=6

2

，接着在Rt△ABC中利用正切的定义求解．

解答：解：直线AB交x轴于D，如图，
∵B（0，3），C（3，0），
∴OB=OC=3，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴BC=

2

OB=3

2

，∠OBC=45°，
∵△ABC的内心在y轴上，
∴OB平分∠DBC，
∴∠DBO=∠OBC=45°，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴OD=OB=3，
∴D点坐标为（-3，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把B（0，3）、D（-3，0）代入得

b=3 -3k+b=0

，解得

k=1 b=3

，
∴直线AB的解析式为y=x+3，
解方程组

y=x+3 y= 1 3 x-1

得

x=-6 y=-3

，
∴A点坐标为（-6，-3），
∴AB=

(-6)2+(-3-3)2

=6

2

，
在Rt△ABC中，tan∠A=

BC

AB

=

3 2

6 2

=

1

2

．
故答案为

1

2

．

点评：本题考查了一次函数的综合题：会把求两直线交点坐标的问题转化解方程组的问题和运用待定系数法求一次函数解析式；理解三角形内心的定义和等腰直角三角形的性质；能根据两点间的距离公式计算线段的长．