Question

1．以x为自变量的二次函数y=-x²+（2m+2）x-（m²+4m-3）中，m为不小于0的整数，它的图象与x轴的交点A在原点左边，交点B在原点右边．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设点C为此二次函数图象上的一点，且满足△ABC的面积等于10，请求出点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）由二次函数y=-x²+（2m+2）x-（m²+4m-3）中，m为不小于0的整数，它的图象与x轴的交点A在原点左边，交点B在原点右边，可确定m的值，可得二次函数的解析式；
（2）由△ABC的面积等于10，|AB|=4，求出点C的纵坐标，再代入解析式可得点C的横坐标，即得点C的坐标．

解答 解：（1）∵图象与x轴的交点A在原点左边，交点B在原点右边，
∴△=（2m+2）²-4×（-1）×[-（m²+4m-3）]＞0，
解得：m＜2，
∵m为不小于0的整，
∴m=0或1．
当m=0时，y=-x²+2x+3，其中A（-1，0），B（3，0）；
当m=1时，y=-x²+4x-2，不合题意；
∴二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）∵△ABC的面积等于10，|AB|=4，
∴$\frac{1}{2}$|AB|•h=10，
∴h=5，
∴C点的纵坐标为5或-5，
当C点的纵坐标为5时，-x²+2x+3=5，即-x²+2x-2=0，△=4-4×（-1）×（-2）＜0，不合题意，舍去；
当C点的纵坐标为-5时，-x²+2x+3=-5，即-x²+2x+8=0，
解得：x=4或-2，
所以点C的坐标为：（4，-5）或（-2，-5）．

点评 本题主要考查了二次函数的性质，利用根的判别式是解答此题的关键．