Question

6．如图，直线L₁∥L₂，圆O与L₁和L₂分别相切于点A和点B，点M和点N分别是L₁和L₂上的动点，MN沿L₁和L₂平移，圆O的半径为1，∠1=60°，当MN与圆相切时，AM的长度等于$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 当MN在左侧与⊙O相切时，连接OM、OA，则OM平分∠1，在Rt△OAM中可求得AM；当MN在右侧与⊙O相切时，连接OM、OA，则OM平分∠AMN，在Rt△OAM中可求得MA的长，可求得答案．

解答 解：
当MN在左侧与⊙O相切时，连接OM、OA，如图1，

∵MA、MN是⊙O的切线，
∴OM平分∠AMN，OA⊥MA，
∴∠AMO=30°，
∴OM=2OA=2，
在Rt△OAM中，MA=$\sqrt{O{M}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{3}$；
当MN在右侧与⊙O相切时，连接OM、OA，如图2，

∵∠1=60°，
∴∠AMN=120°，
同上可知∠AMO=$\frac{1}{2}$∠AMN=60°，
∴OM=2AM，
在Rt△OAM中，MA²=OM²-OA²，即MA²=4MA²-1，解得MA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
综上可知MA的长度为$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查切线的性质，构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度是解题的关键，注意分两种情况讨论．