Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．
（1）求证：△ACE≌△AFE；
（2）求tan∠CAE的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,勾股定理,锐角三角函数的定义

专题：证明题

分析：（1）根据角的平分线的性质可求得CE=EF，然后根据直角三角形的判定定理求得三角形全等．
（2）由△ACE≌△AFE，得出AC=AF，CE=EF，设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，根据勾股定理可求得，tan∠B=

AC

BC

=

2

5

，CE=EF=

2m

5

，在RT△ACE中，tan∠CAE=

CE

AC

=

2m 5

2m

=

5

5

；

解答：（1）证明：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF，
∴CE=EF，
在Rt△ACE与Rt△AFE中，

CE=EF AE=AE

，
∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL）；

（2）解：由（1）可知△ACE≌△AFE，
∴AC=AF，CE=EF，
设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，
∴BC=

AB2-AC2

=

9m2-4m2

=

5

m，
解法一：∵∠C=∠EFB=90°，
∴△EFB∽△ACB，
∴

EF

AC

=

FB

BC

，
∵CE=EF，
∴

CE

AC

=

m

5 m

=

5

5

；
解法二：∴在RT△ABC中，tan∠B=

AC

BC

=

2m

5 m

=

2

5

，
在RT△EFB中，EF=BF•tan∠B=

2m

5

，
∴CE=EF=

2 m

5

，
在RT△ACE中，tan∠CAE=

CE

AC

=

2m 5

2m

=

5

5

；
∴tan∠CAE=

5

5

．

点评：本题考查了直角三角形的判定、性质和利用三角函数解直角三角形，根据已知条件表示出线段的值是解本题的关键．