Question

如图所示，已知点P、Q分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，M、N分别是AQ、CP的中点．
（1）在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形；
（2）四边形PNQM是什么样的特殊四边形？请说明理由．

Answer 1

解：（1）△ADQ≌△CBP、△AMP≌△CNQ；

（2）四边形PNQM是菱形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，AB=DC，AD=BC，
∵P、Q分别是AB、DC的中点，
∴DQ=BP，
在△ADQ和△CBP中

∴△ADQ≌△CBP．
∴AQ=CP，∠DAQ=∠BCP，
∵M、N分别是AQ、CP的中点，
∴QM=PN，
∵∠DAQ+∠BAQ=90°，∠BPC+∠BCP=90°，
∴∠BAQ=∠BPC．
∴AQ∥PC．
∴四边形PNQM是平行四边形，
连接PQ，由题意可得四边形APQD是矩形，PM为直角三角形斜边上的中线，
故PM=MQ，
∴四边形PNQM是菱形．
分析：（1）根据图形，结合全等三角形的判定得出即可；
（2）证△ADQ≌△CBP，推出AQ=CP，求出QM∥PN，QM=PN得出平行四边形PMQN，根据直角三角形斜边上中线性质求出PM=MQ，即可得出答案．
点评：本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．