Question

18．如图，已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0），B（4，4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x-m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）
∴将A与B两点坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=0}\\{16a+4b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式是y=x²-3x．

（2）设直线OB的解析式为y=k₁x，由点B（4，4），
得：4=4k₁，解得：k₁=1
∴直线OB的解析式为y=x，
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x-m，
∵点D在抛物线y=x²-3x上，
∴可设D（x，x²-3x），
又∵点D在直线y=x-m上，
∴x²-3x=x-m，即x²-4x+m=0，
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴△=16-4m=0，
解得：m=4，
此时x₁=x₂=2，y=x²-3x=-2，
∴D点的坐标为（2，-2）．

点评 考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数（直线）的平移．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与直线的交点．