Question

10．已知x+x^-1=3，求下列各式的值：
（1）x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$；
（2）x²+x^-2；
（3）x²-x^-2．

Answer 1

分析 （1）直接利用完全平方公式得出（x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$）²=x+x^-1+2，进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式得出（x+x^-1）²=x²+2+x^-2，进而得出答案；
（3）直接利用完全平方公式得出x⁴+x^-4=47，进而得出答案．

解答 解：（1）∵x+x^-1=3，
∴（x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$）²=x+x^-1+2=5，
∴x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$；

（2）∵x+x^-1=3，
∴（x+x^-1）²=x²+2+x^-2=9，
∴x²+x^-2=7；

（3）∵x²+x^-2=7，
∴（x²+x^-2）²=49，
∴x⁴+x^-4=47，
∴（x²-x^-2）²=x⁴+x^-4-2=45，
∴x²-x^-2=±3$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练应用完全平方公式是解题关键．