Question

如图，在△ABC中，AB=BC=2，高BE=，在BC边的延长线上取一点D，使CD=3．
（1）现有一动点P由A沿AB移动，设AP=t，S_△PCD=S，求S与t之间的关系式及自变量t的取值范围．
（2）在（1）的条件下，当时，过点C作CH⊥PD于H，设K=7CH：9PD．求证：关于x的二次函数的图象与x轴的两个交点关于原点对称．
（3）在（1）的条件下，是否存在正实数t，使PD边上的高？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：过点P作PF⊥BD于点F．
∵AB=BC=2，高BE=，
∴由锐角三角函数，得∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BPF=30°．
∵AP=t，
∴PB=2-t，
∴PF=（2-t），
∴S=×3×（2-t），
=-t+（0≤t≤2）；

（2）证明：∵，
∴PB=2-=，
∴PB=，PF=，CF=，
∴DF=3+=，
在Rt△PFD中由勾股定理得
DP=，
=，
在△PCD中××3=×CH，
解得CH=，
K==，
∴，
，
当y=0时，解得x=，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标分别为：，
∴原二次函数的图象与x轴的交点关于原点对称；

（3）解：不存在正实数P．
∵CH⊥DP，且
∴∠D=30°
∴DP=2PF=（2-t），DF=2-+3=
由勾股定理得

解得t₁=7不符合题意应舍去．
t₂=-不符合题意应舍去．
∴当CH=1.5时，求出的t的值不满足题意要求．
分析：（1）要求s与t的函数关系式，只要表示出DC边上的高就可以了，而CD边上的高可以用三角函数表述出来．因为很容易证明△ABC是正三角形．AP的取值范围是0≤PD≤2．
（2）要求证二次函数与x轴的交点关于原点对称，只要求出抛物线与x轴的交点坐标，要求交点坐标就要求出k值，要求k值就要求出CH、PD的值，可以利用三角形的面积公式和勾股定理求出，从而的解．
（3）当CH=1.5时，利用勾股定理建立方程，从而求出t的值，确定t的值满足不满足题意要求．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了求二次函数的解析式，轴对称、三角函数值、勾股定理以及问题的存在性等多个知识点，且计算量比较大，对学生的计算能力有较高的要求．