Question

如图，已知C、D是双曲线y=

m

x

在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴，y轴于A、B两点，过点C作CG⊥x轴于点G，设C、D的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），连结OC、OD．
（1）求证：y1＜OC＜y1+

m

y1

；
（2）若OC=

10

，

x1

y1

=

y2

x2

=

1

3

，求直线CD的解析式．

Answer 1

分析：（1）将三个部分在图上的对应线段理顺就一目了然：直角三角形中斜边大于直角边；三角形两边之和大于第三边．
（2）设x₁=a，则y₁=3a，在Rt△OCG中，利用勾股定理可得出a的值，继而求出点C的坐标，代入反比例函数解析式求出m，再由

y2

x2

=

1

3

可求出点D的坐标，利用待定系数法可确定直线CD的解析式．

解答：解：（1）∵点C（x₁，y₁）在双曲线y=

m

x

上，
∴x₁=

m

y1

，
∵在Rt△OCG中，CG＜OC＜CG+OG，
∴y₁＜OC＜y₁+

m

y1

．

（2）设x₁=a，则y₁=3a，
在Rt△OCG中，OG²+CG²=OC²，即10a²=10，
解得：a₁=1，a₂=-1（点C在第一象限，故舍去），
∴点C的坐标为（1，3），
将点C的坐标代入反比例函数解析式可得：3=

m

1

，
解得：m=3，
∴反比例函数解析式为：y=

3

x

，
设x₂=3b，则y₂=b，
即点D的坐标为（3b，b），代入反比例函数解析式可得：b=

3

3b

，
解得：b₁=1，b₂=-1（点D在第一象限，故舍去），
∴点D的坐标为（3，1），
设直线CD的解析式为：y=kx+b，
将点C（1，3），点D（3，1）代入可得：

k+b=3 3k+b=1

，
解得：

k=-1 b=4

，
故直线CD的解析式为：y=-x+4．

点评：本题考查了反比例函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的三边关系及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握基础知识，掌握数形结合思想的运算，难度较大．