Question

2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AE，BE=BC，连接DE，EC
（1）求证：DE⊥EC；
（2）若M为CD的中点，求证：BM∥DE．

Answer 1

分析 （1）分别在△AED和△BCE中表示出∠A和∠EBC的度数，然后结合∠A+∠EBC=180°求解即可；
（2）由直角三角形斜边上的中线的性质可知EM=MC，然后再根据BE=BC，可证明BM是CE的垂直平分线．

解答 证明：（1）∵AD=AE，BC=BE，
∴∠ADE=∠AED，∠BCE=∠BEC．
∴∠A=180°-2∠AED，∠ABC=180°-2∠BEC．
∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°．
∴180°-2∠AED+180°-2∠BEC=180°．
∴∠AED+∠BEC=90°．
∴∠CDE=90°．
∴DE⊥CE．
（2）如图所示：连接EM．

∵∠CDE=90°，M是CD的中点，
∴CM=EM．
∵BE=BC，∠CM=EM，
∴BM垂直平分CE．
∵BM⊥CE，DE⊥EC，
∴DE∥MB．

点评 本题主要考查的是线段垂直平分线的判定、直角三角形斜边上中线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，证得BM是CE的垂直平分线是解题的关键．