Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8．以其三边为直径向外作三个半圆，矩形FEGH的各边分别与半圆相切，且平行于AB或BC，则矩形EFGH的面积为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,矩形的性质

专题：

分析：先取AC的中点O，过点O作MN∥EF，PQ∥EH，由题意可得PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG，PL，KN，OM，OQ分别是各半圆的半径，OL，OK是△ABC的中位线，又由在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，即可求得个线段长，继而求得答案．

解答：解：取AC的中点O，过点O作MN∥EF，PQ∥EH，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥PQ∥FG，EF∥MN∥GH，∠E=∠H=90°，
∴PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG，
∵AB∥EF，BC∥FG，
∴AB∥MN∥GH，BC∥PQ∥FG，
∴AL=BL，BK=CK，
∴OL=

1

2

BC=

1

2

×6=3，KN=

1

2

BC=

1

2

8=4，
在Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=10，
∴OM=OQ=

1

2

AC=5，
∴EH=FG=PQ=PL+OL+OQ=3+4+5=12，EF=GH=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12，
∴矩形EFGH的面积=12×12=144．
故答案为：144．

点评：此题考查了切线的性质、矩形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．