Question

8．某公司开发了一种新型的家电产品，又适逢“家电下乡”的优惠政策．现投资40万元用于该产品的广告促销，已知该产品的本地销售量y₁（万台）与本地的广告费用x（万元）之间的函数关系满足y₁=$\left\{\begin{array}{l}{3x（0≤x≤25）}\\{2x+25（25≤x≤40）}\end{array}\right.$．该产品的外地销售量y₂（万台）与外地广告费用t（万元）之间的函数关系可用如图所示的抛物线和线段AB来表示．其中点A为抛物线的顶点．
（1）结合图象，求出y₂（万台）与外地广告费用t（万元）之间的函数关系式；
（2）求该产品的销售总量y（万台）与本地广告费用x（万元）之间的函数关系式（其中y=y₁+y₂）；
（3）若本地的广告费用不低于25万元，则销售总量最大的是多少？

Answer 1

分析 （1）当0≤t≤25时，y₂为二次函数，顶点坐标为（25，122.5），设抛物线顶点式，把（0，60）代入求函数式，当25＜t≤40时，y₂=122.5；
（2）由x+t=40，得t=40-x，此时，x的取值范围是0≤x＜15，15≤x＜25，25≤x≤40，由y=y₁+y₂，分别求该产品的销售总量y（万台）与本地广告费用x（万元）之间的函数关系式；
（3）由（2）中的两个函数关系式，再各范围内求y的最大值，比较即可．

解答 解：（1）当0≤t≤25时，抛物线顶点坐标为（25，122.5），设y₂=a（t-25）²+122.5，
将（0，60）代入，得a（0-25）²+122.5=60，
解得a=-$\frac{1}{10}$，
y₂=-$\frac{1}{10}$（t-25）²+122.5，
当25＜t≤40时，y₂=122.5；

（2）由x+t=40，根据t的取值范围得，
当0≤x＜15时，y=y₁+y₂=3x+122.5，
当15≤x＜25时，y=y₁+y₂=3x-$\frac{1}{10}$（40-x-25）²+122.5=-0.1x²+3x+100；
当25≤x≤40时，y=y₁+y₂=2x+25+122.5=2x+147.5；

（3）由（2）的函数关系式可知，当x=40时，y_最大=227.5万元，
即：安排本地广告费40万元，外地广告费10万元，能使销售总量最大，最大为227.5万元．

点评 本题考查了二次函数的应用．关键是根据函数图象，分段求出y₂的函数关系式及t的取值范围，根据两个变量x、t的和为40，将函数式中的变量进行转化，根据二次函数的性质求最大值．