Question

7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，AB=10cm，点D在边AC上，且点D到边AB和边BC的距离相等．
（1）作图：在AC上求作点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求CD的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用角平分线的做法得出符合题意的图形；
（2）直接利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质得出BC=BE，进而得出DC的长．

解答 解：（1）如图所示：

（2）过点D作DE⊥AB，垂足为点E，
∵点D到边AB和边BC的距离相等，
∴BD平分∠ABC．（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE．（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
在Rt△CBD和Rt△EBD中，$\left\{\begin{array}{l}CD=DE\\ BD=BD\end{array}\right.$
∴Rt△CBD≌Rt△EBD（HL），
∴BC=BE．
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴AB²=BC²+AC²．（勾股定理）
∵AC=6cm，AB=10cm，
∴BC=8cm．
∴AE=10-8=2cm．
设DC=DE=x，
∵AC=6cm，
∴AD=6-x．
∵在△ADE中，∠AED=90°，
∴AD²=AE²+DE²．（勾股定理）
∴（6-x）²=2²+x²．
解得：$x=\frac{8}{3}$．
即CD的长是$\frac{8}{3}$．

点评 此题主要考查了基本作图以及勾股定理和全等三角形的判定与性质，正确应用勾股定理是解题关键．