Question

10．关于x的方程3x²+mx-8=0．
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是$\frac{2}{3}$，求另一个根及m的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=m²+96＞0，由此即可证出不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一根为n，将x=$\frac{2}{3}$代入原方程求出m的值，再由根与系数的关系可得出$\frac{2}{3}$n=-$\frac{8}{3}$，解之即可得出方程的另一个根．

解答 （1）证明：∵在方程3x²+mx-8=0中，△=m²-4×3×（-8）=m²+96＞0，
∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的另一根为n，
将x=$\frac{2}{3}$代入原方程得：3×$（\frac{2}{3}）^{2}$+$\frac{2}{3}$m-8=0，
解得：m=10，
由根与系数的关系可知：$\frac{2}{3}$n=-$\frac{8}{3}$，
∴n=-4．
答：方程另一个根为-4，m的值为10．

点评 本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）找出根的判别式△=m²+96＞0；（2）将x=$\frac{2}{3}$代入原方程求出m的值．