Question

如图，一个半径为2的圆经过一个半径为4的圆的圆心，则图中阴影部分的面积为________．

Answer 1

8
分析：连接O₁O₂，O₁A，O₁B，O₂A，O₂B，由勾股定理的逆定理得∠O₂O₁A=∠O₂O₁B=90°，则点A、O₁、B在同一条直线上，则AB是圆O₁的直径，从的得出阴影部分的面积S_阴影=S_⊙1-S_弓形AO1B=S_⊙1-（S_扇形AO2B-S_△AO2B）．
解答：连接O₁O₂，O₁A，O₁B，O₂A，O₂B，

∵O₁O₂=O₁A=2，O₂A=4，
∴O₁O₂²+O₁A²=O₂A²，
∴∠O₂O₁A=90°，同理∠O₂O₁B=90°，
∴点A、O₁、B在同一条直线上，并且∠AO₂B=90°，
∴AB是圆O₁的直径，
∴S_阴影=S_⊙1-S_弓形AO1B=S_⊙1-（S_扇形AO2B-S_△AO2B）
=π（2）²-π×4²+×4×4=8
故答案为8．
点评：本题考查了扇形面积的计算、勾股定理和相交两圆的性质，解题的关键是发现阴影部分的面积的计算方法．