Question

如图，AB是⊙O的直径，D是弦BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点H，F在ED上，且FC=FD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若FD=1，∠D=30°，AC=CD，求AH的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB（等边对等角）；
又∵DE⊥AB，
∴∠EBD+∠EDB=90°（直角三角形的两个锐角互余）；
∵FC=FD（已知），
∴∠FCD=∠FDC（等边对等角），
∴∠OCB+∠FCD=90°，
∠AOC+∠ACF=90°，即OC⊥CF；，
又∵点C在⊙O上，
CF是⊙O的切线；

（2）解：∵FC=FD=1，∠D=30°，
∴CD=；
又∵AC=CD，
∴AC=（等量代换）；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵点D在BC的延长线上，
∴∠ACD=90°；
在直角△HCD中，CD=，∠D=30°，
∴HC=CD•tan∠D=1，
∴AH=AC-HC=-1．
分析：（1）连接OC．欲证CF是⊙O的切线，只需证明OC⊥CF即可；
（2）根据圆周角定理证得AC⊥BD．在等腰△FCD中求得CD=；然后在直角△HCD中利用特殊角的三角函数的定义求得HC=1；最后由线段间的和差关系即可求得AH的长度．
点评：本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．