Question

5．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别是AC、BC上的两点，AD=CE，且AE与BD交于点P，BF⊥AE于点F．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）若BP=6，求PF的长．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，由SAS即可证明△ABD≌△CAE；
（2）由△ABD≌△CAE得出对应角相等∠ABD=∠CAE，根据三角形的外角性质得出∠BPF=60°，由含30°角的直角三角形的性质即可得出PF的长．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}&{\;}\\{∠BAD=∠ACE}&{\;}\\{AD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∵∠BPF=∠BAP+∠ABD，
∴∠BPF=∠BAP+∠CAE=∠BAD=60°，
∵BF⊥AE，
∴∠PFB=90°，
∴∠PBF=30°，
∴PF=$\frac{1}{2}$BP=3．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．