Question

1．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．如果BF=a，那么PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a（用含a的代数式表示）．

Answer 1

分析 根据等边三角形和角平分线的性质即可得出∠PBE=∠FBQ=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，通过解直角三角形可求出BP的长度，再通过解直角三角形即可得出线段PE的长度．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠PBE=∠FBQ=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°．
∵FQ⊥BP，
∴BQ=BF•cos∠FBQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∵Q点是线段BP的中点，BQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴BP=$\sqrt{3}$a．
在Rt△BEP中，∠PBE=30°，BP=$\sqrt{3}$a，PE⊥AB，
∴PE=BP•sin∠PBE=$\sqrt{3}$a×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．

点评 本题考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是通过解直角三角形求出线段PE的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形的性质找出角的度数，再通过解直角三角形以及特殊角的三角形函数值找出线段的长是关键．