Question

（2012•江汉区模拟）已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，点F为边AB的中点，EF∥CD交BC于点E，则下列结论：
①AC=

2

EF；②BC-AC=2CE；③EF=

2

CE；④EF•AB=

2

AD•BE；
其中一定成立的是（　　）

A．①②④

B．③④

C．①②③

D．①②

Answer 1

分析：过A作AM∥EF交BC延长线于M，求出AM=2EF，由勾股定理求出AM=

2

AC，得出2EF=

2

AC，即可判断①；根据ME=BE，AC=CM求出BC-AC=2EM-MC=2EF，即可判断②；过F作FN⊥BC于N，由勾股定理求出EF=

2

EN=

2

FN，即可判断③；过D作DQ⊥AC于Q，证△AQD∽△ACB，推出

DQ

AD

=

BC

AB

，推出

CD

2 AD

=

BC

AB

，得出

CD

BC

=

2 AD

AB

，证△BEF∽△BCD，推出

EF

BE

=

CD

BC

，即可判断④．

解答：解：
过A作AM∥EF交BC延长线于M，
∵EF∥CD，
∴∠BEF=∠M=∠BCD，
∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，
∴∠BCD=45°，
∴∠M=∠BEF=45°，
∵∠ACM=90°，
∴∠CAM=∠M=45°，
∴MC=AC，
∵AM∥EF，F为AB中点，
∴E为BM中点，
∴AM=2EF，
由勾股定理得：AM=

2

AC，
∴2EF=

2

AC，
AC=

2

EF，∴①正确；
∵ME=BE，AC=CM，
∴BC-AC=2EM-MC=2EF，∴②正确；
如图，过F作FN⊥BC于N，

∵∠BEF=45°，
∴∠NEF=∠NFE=45°，
∴EN=FN，
由勾股定理得：EF=

2

EN=

2

FN，根据已知不能推出CE=EN，∴③错误；
如图

过D作DQ⊥AC于Q，
则∠AQD=∠CQD=∠ACB=90°，DQ∥BC，
∴△AQD∽△ACB，
∴

DQ

AD

=

BC

AB

，
∵∠CQD=90°，∠ACD=45°，
∴∠ACD=∠CDQ=45°，
∴CQ=DQ，由勾股定理得：DQ=

2

2

CD，
∴

2 2 CD

AD

=

BC

AB

，
∴

CD

2 AD

=

BC

AB

，

CD

BC

=

2 AD

AB

，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴

EF

BE

=

CD

BC

，
∴

EF

BE

=

2 AD

AB

，
∴EF•AB=

2

AD•BE，∴④正确；
故选A．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形，勾股定理的应用，注意：相似三角形的对应边的比相等，有两个角对应相等的两三角形相似．