Question

如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，P是BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，BG⊥CD于G，可得结论：PE+PF=BG；当点P在BC的延长线上（如图2）时，其余条件不变，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，PE、PF、BG之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，并加以证明．

Answer 1

解：不成立，关系为：PE=PF+BG．
过点B作BH∥CD，交PF的延长线于点H，
∵PF⊥CD，BG⊥CD，∠PBH=∠DCB，
∴BG∥FH，PH⊥BH，
∴四边形BGFH是平行四边形，∠H=90°，
∴FH=BG，
∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，
∴∠ABC=∠PBH，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB=∠H=90°，
在△PBE和△PBH中，
，
∴△PBE≌△PBH（AAS），
∴PH=PE，
∴PE=PF+FH=PF+BG．
分析：首先过点B作BH∥CD，交PF的延长线于点H，易证得四边形BGFH是平行四边形，即可得BG=FH，又可证得△PBE≌△PBH，即可得PH=PE，继而证得PE=PF+BG．
点评：此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．